Demostración problema de Basilea

5 05 2009

Demostración

La expresión de sin(x) como suma infinita:

Sabemos que sin(x) = 0 cuando x = 0, π, -π , 2π, -2π,…, es decir, en 0 y los múltiplos enteros de π . Por tanto podemos expresar la función sin(x) como producto de una constante por (x – cada una de las raíces). Queda algo así:

Multiplicamos los dos factores asociados a π, los dos asociados a 2π , etc.:

Como para cada n tenemos que x2 – nπ2 = 0 (x2 – n π 2 = 0) podemos escribirlos de la siguiente forma:

x:

Ahora, como sin(x) partido por x tiende a 1 cuando x tiende a 0 tenemos que C = 1:

Tenemos una igualdad entre polinomios. Eso implica que los términos de cada uno de los grados deben ser iguales a ambos lados de la igualdad. Quedémonos con los términos de x2:

Multipliquemos por -π2 y dividamos por x2:

Como vemos hemos obtenido el resultado buscado:

En esta demostración Euler asume ciertos resultados como ciertos que demostraría más adelante. Pero la demostración es perfectamente válida.